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Viernes, 28 de Noviembre de 2014
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Álgebra - Polinomios - Evaluación numérica de funciones polinomiales



Funciones polinomiales

Una función polinomial de grado n con una variable es una expresión algebraica de la forma:

ƒ(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a2x2 + a1x1 + a0

en la cual x es la variable y las an, an-1, etc. son los coeficientes. Se llama función porque para cualquier valor de x existe uno y solo un valor de ƒ(x).

Ejemplo. El polinomio x4 + x3 - 11x2 - 9x + 18 es de cuarto grado (por el exponente 4 de su primer término) y su indeterminada o variable es x. Con este polinomio se puede definir la función polinomial de grado 4 con una variable:

ƒ(x) = x4 + x3 - 11x2 - 9x + 18

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Evaluación numérica

Evaluar numéricamente una función es encontrar el valor de la función para un valor numérico de sus variables. Si la función se escribe como ƒ(x), la función evaluada para una valor numérico, por ejemplo 6, se escribe ƒ(6). Para realizar la evaluación se sustituye el valor numérico en cualquier parte de la función en que aparezca la variable y se realizan las operaciones aritméticas necesarias.

Ejemplo. Evaluar la función ƒ(x) = x4 + x3 - 11x2 - 9x + 18 cuando el valor numérico de x es 4.

ƒ(4) = 44 + 43 - 11(4)2 - 9(4) + 18
ƒ(4) = 256 + 64 - 11(16) - 36 + 18
ƒ(4) = 256 + 64 - 176 - 36 + 18
ƒ(4) = 126

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Obtención de la gráfica de una función polinomial

Para obtener la gráfica de una función se debe definir un conjunto de valores de la variable y evaluar numéricamente cada uno de esos valores para obtener parejas de valores (x, ƒ(x)). Esas parejas de valores son coordenadas que determinan la posición de puntos pertenecientes a la función en el plano cartesiano. Se dibujan los puntos y debido a que todas las funciones polinomiales son contínuas y suaves, finalmente se unen los puntos con una línea curva contínua. Entre menor sea la diferencia entre los valores de la variable, más exacta es la gráfica.

Ejemplo. Graficar la función ƒ(x) = x4 + x3 - 11x2 - 9x + 18 en el intervalo de valores de −4 a 4 con con diferencia entre valores de 1.

Primero se evalúa numéricamente ƒ(x) para cada uno de los valores de x y se definen las coordenadas de cada uno de los puntos:

x ƒ(x) (x, ƒ(x))
-470(-4, 70)
-30(-3, 0)
-20(-2, 0)
-116(-1, 16)
018(0, 18)
10(1, 0)
2-20(2, -20)
30(3, 0)
4126(4, 126)

De la gráfica podemos observar que en una función polinomial el valor de la función cuando x = 0 es igual al término independiente del polinomio. Esto es porque todos los términos que contienen a la variable se eliminan al hacer cero la variable. También podemos observar que el valor de la función cuando x = 1 es igual a la suma de los coeficientes del polinomio. Esto es porque cuando la variable toma el valor uno, los exponentes no alteran el valor de la variable porque el número uno al ser elevado a cualquier exponente sigue siendo uno.

Como siguiente paso se dibujan los puntos en el plano cartesiano como se muestra en la figura.

grafica funcion polinomial

Finalmente se unen los puntos con una curva contínua.

grafica funcion polinomial

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