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Martes, 2 de Septiembre de 2014
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Álgebra - Productos notables - Binomio al cuadrado



Binomio al cuadrado

Cuando un binomio se multiplica por sí mismo se tiene lo que se conoce como un binomio al cuadrado. Después de desarrollar la multiplicación se obtiene un trinomio cuadrado perfecto. Si para un binomio cualquiera consideramos el primer término como a y el segundo término como b, entonces el binomio es a + b y también podemos expresar el binomio al cuadrado como (a + b) 2. Si desarrollamos la multiplicación se tiene:

(a + b)2 = (a + b)(a + b)
(a + b)2 = aa + ab + ba + bb
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Esta última expresión es una identidad que se cumple para cualquier binomio al cuadrado y el lado derecho de la igualdad se conoce como trinomio cuadrado perfecto. Usando la identidad se puede obtener el resultado sin necesidad de realizar la multiplicación. Solo hay que elevar al cuadrado el primer término del binomio, sumarle el doble del producto del primero por el segundo y finalmente sumarle el cuadrado del segundo término.

Ejemplo. Obtener el cuadrado de x + 2y y de 3xy + 5.
Usando la identidad se tiene que:
(x + 2y)2 = (x)(x) + 2(x)(2y) + (2y)(2y)
(x + 2y)2 = x2 + 4xy + 4y2
(3xy + 5)2 = (3xy)(3xy) + 2(3xy)(5) + (5)(5)
(3xy + 5)2 = 9x2y2 + 30xy + 25

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Binomio al cuadrado de resta

La identidad (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 es válida para todos los binomios, pero se puede particularizar más para el caso de que los términos del binomio tengan signos diferentes, en ese caso, al elevar al cuadrado y desarrollar la multiplicación tenemos:

(a - b)2 = (a - b)(a - b)
(a - b)2 = aa + (a)(-b) + (-b)(a) + (-b)(-b)
(a - b)2 = aa - ab - ab + bb
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Lo anterior nos indica que cuando los términos del binomio tienen signos opuestos, en el resultado el término del doble producto del primero por el segundo tiene signo negativo.

Ejemplo. Elevar al cuadrado 3x2 - z.
Usando la identidad:
(3x2 - z)2 = (3x2)(3x2) - 2(3x2)(z) + (z)(z)
(3x2 - z)2 = 9x4 - 6x2z + z2

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