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Miércoles, 22 de Octubre de 2014
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Álgebra - Factorización - Factorización de binomios



Diferencia de cuadrados

Un binomio de la forma a2 - b2 se conoce como diferencia de cuadrados. Para identificarlo se debe verificar que ambos términos sean cuadrados (o sea, que se pueda obtener su raiz cuadrada) y que un término sea negativo y el otro positivo. Si el término con signo negativo está escrito primero se deben reacomodar para que se escriba primero el positivo. La factorizacion de una diferencia de cuadrados son unos binomios conjugados y para realizarla se debe usar la identidad algebraica

a2 - b2 = (a + b)(a - b)

Ejemplo. Encontrar los factores de x2 - 9.

  • El primer término es un cuadrado, tiene signo positivo y su raiz cuadrada es x.
  • El segundo término es un cuadrado, tiene signo negativo y su raiz cuadrada (sin considerar el signo) es 3.
  • Por lo tanto la factorización queda:

x2 - 9 = (x + 3)(x - 3)

Ejemplo. Factorizar la expresión - 25s2 + 4.

  • El primer término es un cuadrado, tiene signo negativo y su raiz cuadrada (sin considerar el signo) es 5s.
  • El segundo término es un cuadrado, tiene signo positivo y su raiz cuadrada es 2.
  • Como el primer término es negativo se debe escribir después del segundo término para que la expresion quede en forma de diferencia.
De este modo la factorización queda:

- 25s2 + 4 = 4 - 25s2 = (2 + 5s)(2 - 5s)

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Diferencia de cubos

Un binomio de la forma a3 - b3 se conoce como diferencia de cubos. Para identificarlo se debe verificar que ambos términos sean cubos (o sea, que se pueda obtener su raiz cúbica) y que un término sea negativo y el otro positivo. Si el término con signo negativo está escrito primero se deben reacomodar para que se escriba primero el positivo. La factorizacion de una diferencia de cubos se realiza usando la identidad algebraica

a3 - b3 = (a2 + ab + b2)(a - b)

Ejemplo. Encontrar los factores de x3 - 27.

x3 - 27 = ((x)2 + (x)(3) + (3)2)(x - 3)
x3 - 27 = (x2 + 3x + 9)(x - 3)

Ejemplo. Factorizar la expresión - 125p3 + 8.

  • El primer término es un cubo, tiene signo negativo y su raiz cúbica (sin considerar el signo) es 5p.
  • El segundo término es un cubo, tiene signo positivo y su raiz cúbica es 2.
  • Como el primer término es negativo se debe escribir después del segundo término para que la expresion quede en forma de diferencia.
De este modo la factorización queda:

- 125p3 + 8 = 8 - 125p3 = ((2)2 + (2)(5p) + (5p)2)(2 - 5p)
- 125p3 + 8 = 8 - 125p3 = (4 + 10p + 25p2)(2 - 5p)

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Suma de cubos

Un binomio de la forma a3 + b3 se conoce como suma de cubos. Para identificarlo se debe verificar que ambos términos sean cubos (o sea, que se pueda obtener su raiz cúbica) y que los dos términos tengan el mismo signo. Si el signo de los términos es negativo se debe sacar el factor -1 y después factorizar la suma. La factorización de una suma de cubos se realiza usando la identidad algebraica

a3 + b3 = (a2 - ab + b2)(a + b)

Ejemplo. Encontrar los factores de x3 + 27.

x3 + 27 = ((x)2 - (x)(3) + (3)2)(x + 3)
x3 + 27 = (x2 - 3x + 9)(x + 3)

Ejemplo. Factorizar la expresión - 125q3 - 8.

  • El primer término es un cubo, tiene signo negativo y su raiz cúbica (sin considerar el signo) es 5q.
  • El segundo término es un cubo, tiene signo negativo y su raiz cúbica (sin considerar el signo) es 2.
  • Como los términos son negativos se debe extraer el factor -1 y expresar el otro factor como suma de cubos.
De este modo la factorización queda:

- 125q3 - 8 = -(125q3 + 8) = -((5q)2 - (5q)(2) + (2)2)(5q + 2)
- 125q3 - 8 = -(125q3 + 8) = -(25q2 - 10q + 4)(5q + 2)

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