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Jueves, 30 de Octubre de 2014
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Álgebra - Factorización - Factorización de trinomios



Trinomio cuadrado perfecto

Un binomio de la forma a2 + 2ab + b2 se conoce como trinomio cuadrado perfecto. Para identificarlo se debe verificar que tenga dos términos cuadrados (o sea, que se pueda obtener su raiz cuadrada) con signo positivo y que el otro término sea el doble del producto de la raiz cuadrada de los términos cuadrados. Este ultimo término puede ser negativo o positivo. Se recomienda ordenar el trinomio escribiendo primero uno de los términos cuadrados, después el término del doble producto y finalmente el otro término cuadrado. La factorizacion de un trinomio cuadrado perfecto es un binomio al cuadrado y para realizarla se debe usar la identidad algebraica

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

Esta identidad es la forma general. Para el caso particular en el cual 2ab tenga signo negativo se puede usar la siguiente identidad:

a2 − 2ab + b2 = (a − b)2

Ejemplo. Encontrar los factores de x2 + 4x + 4.

  • El primer término es cuadrado, tiene signo positivo y su raiz cuadrada es x.
  • El tercer término es cuadrado, tiene signo positivo y su raiz cuadrada es 2.
  • El segundo término tiene signo positivo y se puede expresar como el doble del producto de las raíces de los otros dos términos.
    2(x)(2) = 4x
A partir de las consideraciones anteriores se concluye que x2 + 4x + 4 sí es un trinomio cuadrado perfecto y se puede factorizar como

x2 + 4x + 4 = (x + 2)2

Ejemplo. Factorizar la expresión 6pq - 4.5p2 - 2q2.
De primera instancia que esa expresión no es trinomio cuadrado perfecto, debido a que los dos términos que tienen variables al cuadrado son negativos. Si extraemos el factor −1, se puede reescribir la expresión como sigue:

6pq - 4.5p2 - 2q2 = (−1)(-6pq + 4.5p2 + 2q2)

Si multiplicamos el primer factor por 1/2 y el segundo factor por 2 no se altera la expresión, porque 1/2 y 2 son recíprocos (su producto es 1).

6pq - 4.5p2 - 2q2 = (−1/2)(-12pq + 9p2 + 4q2)

Para el segundo factor se tienen las siguientes consideraciones:

  • El segundo término es cuadrado, tiene signo positivo y su raiz cuadrada es 3p.
  • El tercer término es cuadrado, tiene signo positivo y su raiz cuadrada es 2q.
  • El primer término tiene signo negativo y se puede expresar como el doble del producto de las raíces de los otros dos términos.
    2(3p)(2q) = 12pq
  • Se puede cambiar el orden de los términos del segundo factor para escribirlo como un trinomio cuadrado perfecto.
Con esto se concluye que -12pq + 9p2 + 4q2 sí es un trinomio cuadrado perfecto la factorización de la expresión queda como

6pq - 4.5p2 - 2q2 = (−1/2)(9p2 - 12pq + 4q2)
6pq - 4.5p2 - 2q2 = (−1/2)(3p - 2q)2

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Trinomio de la forma x2 + bx + c

Un trinomio de la forma x2 + bx + c se factoriza a la forma (x + d)(x + f) solo si es posible hallar dos números d y f que sumados su suma sea b y multiplicados su producto sea c. Este procedimiento se justifica porque:

(x + d)(x + f) = (x)(x) + (x)(f) + (d)(x) + (d)(f)
(x + d)(x + f) = x2 + fx + dx + df
(x + d)(x + f) = x2 + (d + f)x + df

Donde se observa que el segundo término es la suma de d y f y el tercer término es el producto de d y f.

Ejemplo. Factorizar la expresión x2 + 5x + 6.
Para los números 2 y 3 la suma es 2 + 3 = 5 y el producto es 2 × 3 = 6, por lo cual es posible factorizar la expresión como

x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)

Ejemplo. Factorizar la expresión x2 - 6x + 8.
Para los números -2 y -4 la suma es (-2) + (-4) = - 2 - 4 = -6 y el producto es (-2)(-4) = 8, por lo cual es posible factorizar la expresión como

x2 - 6x + 8 = (x - 2)(x - 4)

Ejemplo. Factorizar la expresión x2 + x - 30.
Para los números 6 y -5 la suma es (6) + (-5) = 6 - 5 = 1 y el producto es (6)(-5) = -30, por lo cual es posible factorizar la expresión como

x2 + x - 30 = (x + 6)(x - 5)

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