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Lunes, 20 de Octubre de 2014
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Álgebra - Ecuaciones - Ecuaciones de primer grado con una incógnita



Descripción

Las ecuaciones de primer grado con una incógnita son todas aquellas que se pueden escribir de la siguiente forma:

ax + b = 0

Donde x es la variable, a y b son números reales y a es diferente de cero. Estas ecuaciones se identifican verificando que la variable no tenga exponente.

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Solución

La solución de una ecuación de primer grado con una incógnita es simpre un solo valor de la variable. En algunos casos se puede conocer la solución por simple inspección, por ejemplo, para la ecuación 7 - x = 4 es facil deducir que la solución es x = 3 porque 7 - 3 = 4. Sin embargo, en la mayoría de los casos es necesario seguir un procedimiento algebraico para encontrar la solución, sobretodo si la ecuación contiene fracciones y/o radicales.

La ecuación está solucionada cuando es posible presentarla como x = n donde n es la solución. Cuando la ecuación tiene esa forma se dice que la variable está despejada.

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Procedimiento para encontrar la solución

Para encontrar la solución se realizan varias operaciones sobre los dos miembros de la ecuación utilizando las propiedades de la igualdad y las propiedades de las operaciones inversas.

Ejemplo. Resolver la ecuación 2x + 3 = 21 - x.

  • El término 2x se mantiene en el primer miembro (a la izquierda del =) porque contiene a la variable.


  • El término 3 se quita del primer miembro porque no contiene a la variable. Esto se hace restando 3 a los dos miembros


  • El término 21 se mantiene en el segundo miembro (a la derecha del =) porque no contiene a la variable.


  • El término - x se quita del segundo miembro porque contiene a la variable. Esto se hace sumando x a los dos miembros


  • Se reducen términos semejantes


  • 2x + 3 - 3 + x = 21 - x - 3 + x
    3x = 18


  • El número 3 que multiplica a x se debe quitar para dejar despejada la variable. Para ello se dividen ambos miembros de la ecuación por 3.


  • (3x)/3 = (18)/3
    x = 6


Ahora la variable está despejada y se ha solucionado la ecuación. Para comprobar que x = 6 es la solución de la ecuación se evalúa numéricamente cada miembro y se verifica la igualdad.

2(6) + 3 = 21 - (6)
12 + 3 = 15
15 = 15

Con esto se comprueba que la ecuación ha sido solucionada correctamente.

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Un poco más sobre el procedimiento

En la resolución de ecuaciones es común escuchar comentarios como "lo que está restando pasa sumando" o "lo que está multiplicando pasa dividiendo". Es válido considerar que se puede despejar algún elemento de un miembro y pasarlo al otro miembro con la operación inversa, pero es necesario comprender por qué se hace, para evitar errores. En el siguiente ejemplo se illustra lo comentado aquí.

Ejemplo. Resolver la ecuación 3x - 4 = x + 2.

El término 3x contiene a la variable y debe quedarse en el primer miembro. El término - 4 no contiene a la variable, por lo cual se debe quitar del primer miembro, esto se hace sumando 4 a ambos miembros.

3x - 4 + 4 = x + 2 + 4

Los términos - 4 y + 4 se eliminan porque - 4 + 4 = 0. La ecuación queda:

3x = x + 2 + 4

Si comparamos esta ecuación con la original, observaremos que el término - 4 del primer miembro se ha convertido en el término + 4 del segundo miembro. En ese caso podemos decir que "el término que estaba restando ha pasado sumando al otro miembro". Después de reducir términos semejantes la ecuación queda:

3x = x + 6

El término x contiene a la variable, por lo cual se debe quitar del segundo miembro. Esto se hace restando x a los dos miembros.

3x - x = x + 6 - x

Los términos x y - x se eliminan porque x - x = 0. La ecuación queda:

3x - x = 6

Al comparar esta ecuación con la original, observamos que el término x del segundo miembro se ha convertido en el término - x del primer miembro. En ese caso podemos decir que "el término que estaba sumando ha pasado restando al otro miembro". Después de reducir términos semejantes la ecuación queda:

2x = 6

Para despejar la x del término 2x se debe quitar el 2 de ese término. Esto se hace dividiendo entre 2 a los dos miembros.

(2x)/2 = (6)/2

En el primer miembro, el 2 que multiplica a x y el 2 que divide se eliminan porque 2 / 2 = 0. La ecuación queda:

x = 6/2

Al comparar esta ecuación con la anterior, observamos que el 2 de 2x ahora está dividiendo a 6. En ese caso podemos decir que "el término que estaba multiplicando ha pasado dividiendo al otro miembro". Después de realizar la división, la ecuación ha sido solucionada:

x = 3

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